TwiddleLab / Математика / Вероятность через опыты

Проект: придумай честную игру

Урок 11 из 11 · 8 мин · Бесплатно, без аккаунта

Что ты узнаешь

• Игра честная, когда средний приз равен цене билета: приз × шанс = билет.
• Аккуратно считай выигрышные исходы: клетка, которая входит в два события, считается один раз.
• В играх из двух шагов умножай вдоль выигрышного пути дерева, потом приз = билет / шанс.

Начать урок

Как идёт урок

1. Придумай игру с кубиками для школьной ярмарки. Заманчивую, но ровно честную.

   И докажи это двумя способами.

2. Придумай свою игру.

   Выбери один кубик или два. Закрась исходы, которые выигрывают приз.

   Каждая клетка сетки равновероятна, поэтому твой шанс выиграть это закрашенные клетки / все клетки.

3. Попробуй приз $10 на качелях.

   Тяни опору, пока доска не выровняется. Это средний приз на игрока.

   Средний приз это $10 × шанс + $0 × (1 − шанс) = $10 × шанс.

4. Крути приз, пока опора не встанет на билет за $2.

   Честно значит ровно $2. Если ни один приз не подходит до цента, поменяй клетки на маленькой сетке.

   Честно: приз × k/N = $2, значит, приз = 2N/k. При N = 36 это 72/k, целое число десятков центов, только когда k делит 720 (например 4, 6, 8, 9, 10, 12 клеток).

5. 10 000 игроков платят по $2. Где окажется твоя касса?

   Твоя игра честная. Перетащи булавку на свою ставку.

6. Открой ларёк: 10 000 игроков.

   Каждый платит $2 и играет в твою игру. Смотри на кассу и средний приз.

7. Ларёк Пипа: сумма 10 или дубль. Пип говорит, 9 способов, приз $8.

   Что-то посчитано дважды. Нажми на клетку, которую Пип посчитал дважды.

   У суммы 10 три клетки, у дублей шесть, но 5 и 5 в обоих. P(A или B) = 3/36 + 6/36 − 1/36 = 8/36. Честный приз: $2 × 36 / 8 = $9.

8. Испытание: три игры из двух шагов.

   Прочитай каждое дерево, задай честный приз и нажми «Тест». Три жизни.

   Каждая игра выигрывает только на одном пути. Его шанс это произведение двух веток, а честный приз это $2, делённое на этот шанс.

9. Твоя игра в пяти строках Python.

   random_number(1, N) выбирает один из твоих исходов; первые k выигрывают. Какой средний приз напечатается?

   Каждый проход выигрывает приз с шансом k/N. За 10 000 проходов среднее близко к приз × k/N, а это ровно $2.

10. Твоя игра честная. Какое изменение сохранит честность?

    Средний приз это приз × шанс. Если удвоить шанс и уменьшить приз вдвое, он умножится на 2 × 1/2 = 1 и останется равным билету.

11. Назови свой ларёк и напечатай его карточку.

    Выбери название и цвет вывески. На карточке оба доказательства.

Предыдущий урок: Формы случайности · Часть курса: Вероятность через опыты

Уроки интерактивные и работают на JavaScript. Включи его, чтобы играть.