TwiddleLab / Математика / Вероятность через опыты

Хотя бы один: трюк с дополнением

Урок 7 из 11 · 7 мин · Бесплатно, без аккаунта

Что ты узнаешь

• Дополнение события это всё остальное: P(не A) = 1 − P(A).
• Хотя бы один = 1 − ни одного. «Ни одного» это один путь, поэтому умножай вдоль него: (5/6) в степени 4 = 0,48.
• Каждая лишняя попытка снова умножает «ни одного», поэтому оно быстро тает: 4 броска проходят 50%, 13 проходят 90%.

Начать урок

Как идёт урок

1. Брось кубик 4 раза. Хотя бы одна 6 вероятнее, чем нет?

   Перетащи булавку к своей ставке на шанс хотя бы одной 6.

2. Четыре броска дают 16 путей. Только в одном вообще нет 6.

   Каждый столбец это один бросок. Красное это 6, зелёное нет. Высота это шанс. Нажми на лист без 6.

   Путь без 6 это 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 625/1296, около 0,48. Во всех остальных путях есть хотя бы одна 6, вместе это 1 − 0,48 = 0,52: чуть больше половины.

3. Крути число бросков.

   Каждый бросок снова умножает «нет 6» на 5/6. Попади в каждую цель за наименьшее число бросков.

   «Нет 6» за n бросков это (5/6) в степени n. Оно опускается ниже 0,5 при n = 4 (0,48), ниже 0,25 при n = 8 (0,23) и ниже 0,1 при n = 13 (0,09).

4. Трюк с дополнением.

   Дополнение события это всё остальное. Вместе они дают 1: P(не A) = 1 − P(A).

   У хотя бы одного много путей. У ни одного один. Поэтому P(хотя бы один) = 1 − P(ни одного).

   «Ни одного» это один путь через независимые броски, поэтому умножай вдоль него: (5/6) × (5/6) × (5/6) × (5/6).

5. Брось 1000 серий по четыре.

   Каждая клетка это одна серия из четырёх бросков. Золотая значит хотя бы одна 6. Правда около 52%?

6. Игра: планировщик добычи.

   Три магазина, 40 монет. Спланируй наименьшее число ящиков, которое проходит каждую цель, и нажми «Купить». Меньше всего ящиков даёт 3 звезды.

   «Ничего» за n ящиков при 1 из 10 это 0,9 в степени n: 0,53 при 6 ящиках и 0,48 при 7. Значит, 7 ящиков это минимум для больше 50%. При 1 из 4 0,75 в степени 9 = 0,075; при 1 из 20 0,95 в степени 14 = 0,49.

7. Модель ИИ права в 99% случаев.

   За один запуск она пишет 100 ответов. В какой доле запусков она ошибётся хотя бы раз? Отметь догадку и нажми «Запуск».

   Запуск идеален, только если все 100 ответов верны: 0,99 в степени 100 = 0,37. Значит, в 1 − 0,37 = 0,63 запусков есть хотя бы одна ошибка.

8. Хотя бы одна 6 за 3 броска: какой лист отнять от 1?

   Теперь все листья одной высоты, так что пути придётся читать. n значит «не 6».

   Нет 6 за три броска это 5/6 × 5/6 × 5/6 = 125/216. Во всём остальном, 91/216 или около 0,42, есть хотя бы одна 6.

9. Тизер: в комнате 23 человека.

   Какой шанс, что у двоих совпадает день рождения? Отметь и заполни комнату.

   Все разные это 365/365 × 364/365 × ... × 343/365 = 0,49, значит, совпадение это 1 − 0,49 = 0,51. Среди 23 человек 253 пары, и каждая это шанс совпасть.

Предыдущий урок: Деревья вероятностей · Следующий урок: При условии, что... · Часть курса: Вероятность через опыты

Уроки интерактивные и работают на JavaScript. Включи его, чтобы играть.