TwiddleLab / Математика / Вероятность через опыты

Среднее на длинной дистанции

Урок 9 из 11 · 7 мин · Бесплатно, без аккаунта

Что ты узнаешь

• Математическое ожидание это среднее за игру на длинной дистанции: сложи каждый исход × его шанс.
• Это точка равновесия выигрышей, где каждый весит столько, каков его шанс.
• У честной игры ожидание 0. Заплатить $1, чтобы выиграть $5 на шестёрке: −$0.17 за игру, значит, нечестно.

Начать урок

Как идёт урок

1. Плати $1 за игру. Выпала 6, выигрыш $5.

   Стоит играть всю ночь? Сначала сыграй десять раз.

2. Поставь игру на качели.

   Каждый результат это груз: −$1 высотой 5/6, +$4 высотой 1/6. Тяни опору, пока доска не выровняется.

   Точка равновесия это взвешенное среднее: 5/6 × (−$1) + 1/6 × (+$4) = −5/6 + 4/6 = −1/6, около −$0.17.

3. Играй всю ночь: 1000 игр.

   Синяя линия это твоё среднее за игру на данный момент. Где она установится?

4. Математическое ожидание.

   Математическое ожидание игры это её среднее за игру на длинной дистанции.

   Умножь каждый исход на его шанс и сложи: 5/6 × (−$1) + 1/6 × (+$4) = −$0.17. Это точка равновесия качелей.

   У честной игры ожидание $0: на длинной дистанции никто не выигрывает и не проигрывает.

5. Сделай игру честной.

   Крути приз, пока опора не встанет на $0. Потом правило поменяется: попробуй снова.

   Честно значит, средний приз равен $1, который ты платишь: приз × 1/6 = $1 даёт $6, а приз × 2/6 = $1 даёт $3.

6. Собери честный ларёк: билет $2, один кубик.

   Нажми на грань, чтобы положить на неё $1. Средний приз от $1.50 до $2 и один большой приз от $6.

   Каждая грань выпадает в 1/6 случаев, поэтому средний приз это сумма призов / 6. Суммы от $9 до $12 дают от $1.50 до $2.

7. Игра: два игровых автомата.

   ИИ, который выбирает между вариантами, тоже с этим сталкивается. Один автомат платит чаще. У тебя 20 рычагов. Набери 9 монет или больше.

   Среднее монет за рычаг оценивает ожидание автомата. Несколько рычагов на каждом их различают, а потом верность лучшему даёт больше всего монет.

8. Лотерея продаёт 100 билетов. Один билет выигрывает $50. Какое ожидание приза на билет, в долларах?

   Ожидание = $50 × 1/100 + $0 × 99/100 = $0.50.

9. Открой ларёк для 1000 игроков.

   Каждый платит $2 и выигрывает приз на выпавшей грани. Смотри на кассу.

Предыдущий урок: При условии, что... · Следующий урок: Формы случайности · Часть курса: Вероятность через опыты

Уроки интерактивные и работают на JavaScript. Включи его, чтобы играть.