TwiddleLab / Математика / Рост: степени и логарифмы
Полшага: корни как степени
Что ты узнаешь
- Полшага удвоения умножает на число, которое, применённое дважды, даёт 2: 2^(1/2) = √2 ≈ 1,414.
- Дробный показатель это корень: a^(1/2) = √a, a^(1/3) это кубический корень из a.
- a^(p/q) это корень степени q, применённый p раз: 8^(2/3) = 2² = 4.
Как идёт урок
Колония удваивается каждый час. Во сколько раз она больше через полчаса?
Передвинь рычаг на свою ставку.
Найди множитель за полчаса.
Каждые полчаса колонию умножают на одно и то же число. Две половины часа должны дать ровно ×2.
Два равных полушага должны в произведении дать полный шаг: m × m = 2. Число, квадрат которого 2, это √2 ≈ 1,414.
Запусти часы со своим множителем.
Нажми «Пуск» и смотри на таблицу в каждый целый час.
Половина шага ×2 это ×2^(1/2).
2^(1/2) = √2 ≈ 1,414, потому что 2^(1/2) × 2^(1/2) = 2^(1/2 + 1/2) = 2¹.
Треть шага это кубический корень: 2^(1/3) × 2^(1/3) × 2^(1/3) = 2.
В общем виде a^(p/q): возьми корень степени q из a, потом возведи в степень p.
Теперь раздели час на три.
Каждые 20 минут колонию умножают на одно и то же число. Три шага должны дать ровно ×2.
Три равных шага должны в произведении дать 2, значит, m³ = 2, а m это кубический корень из 2, записывается 2^(1/3) ≈ 1,26.
Игра: подбери корень.
Нажимай на значение каждой карточки. Картинка объясняет каждую. 60 секунд.
Октава на пианино удваивает частоту.
От A = 220 Гц до следующей A = 440 Гц 12 равных шагов. Нажимай на клавиши, чтобы их услышать, потом выбери клавишу ровно на пол-октавы выше.
Каждый из 12 шагов умножает на одно и то же число, поэтому 12 шагов дают ×2. Шесть шагов дают множитель половины пути 2^(6/12) = √2, а 220 × √2 ≈ 311 Гц.
Когда колония станет в 2,83 раза больше?
Она удваивается каждый час. Передвинь рычаг часов на это время, потом «Проверить».
При умножении показатели складываются: 2^(3/2) = 2^1 × 2^(1/2). Это полное удвоение и половина удвоения: 2 × 1,414 ≈ 2,83.
Ещё один трюк: прокрути часы назад.
Сейчас в колонии 100. Сколько было полчаса назад?
Предыдущий урок: Уменьшаем: нулевая и отрицательная степень · Следующий урок: Кривые роста и рост в процентах · Часть курса: Рост: степени и логарифмы
Уроки интерактивные и работают на JavaScript. Включи его, чтобы играть.
