TwiddleLab / Математика / Рост: степени и логарифмы

Правила логарифмов: правила степеней наоборот

Урок 8 из 11 · 7 мин · Бесплатно, без аккаунта

Что ты узнаешь

• log₂ x это обратная функция к 2ˣ: её график это 2ˣ, отражённый относительно y = x.
• log(xy) = log x + log y и log(x/y) = log x − log y: правила степеней, прочитанные наоборот.
• log(xᵏ) = k · log x. Поэтому логарифмическая линейка и компьютер, складывающий логарифмы вероятностей, умеют умножать сложением.

Начать урок

Как идёт урок

1. До калькуляторов инженеры умножали огромные числа сложением. Как?

   Начни с двух обычных линеек. Сдвинь верхнюю, чтобы сложить 2 + 3.

2. Теперь отметки это удвоения: 1, 2, 4, 8...

   Сдвинь верхнюю линейку так, чтобы её 1 стояла над 4. Прочитай, что под 8 верхней.

3. Почему это работает? Переверни 2ˣ.

   Нажимай на каждую точку 2ˣ. Она переворачивается через прямую y = x.

4. Правила степеней наоборот.

   log₂ x это обратная функция к 2ˣ: 2³ = 8, значит, log₂ 8 = 3. Её график это 2ˣ, перевёрнутый относительно y = x.

   2ᵃ · 2ᵇ = 2ᵃ⁺ᵇ превращается в log(xy) = log x + log y, а деление в log(x/y) = log x − log y.

   (2ᵃ)ᵏ = 2ᵃᵏ превращается в log(xᵏ) = k · log x. Для log₁₀ это тоже работает.

5. Настоящая логарифмическая линейка: 2 × 3,5.

   Здесь отметки расставлены по log₁₀, поэтому от 1 до 10 занимает всю линейку. Сдвинь 1 верхней над 2 и прочитай под 3,5.

6. Игра: спринт на логарифмической линейке.

   Четыре произведения. Сдвинь 1 верхней над первым числом; ответ появится под оранжевой линией.

7. Насколько вероятно предложение из 150 слов?

   Языковая модель даёт каждому слову вероятность, здесь 0,001. Машина A их перемножает. Машина B складывает их логарифмы. Дай обеим это предложение.

   Перемножение многих маленьких вероятностей даёт число меньше, чем компьютер может хранить, и оно становится 0. Логарифм произведения это сумма логарифмов, −3 на слово, и это остаётся обычным числом.

8. Проверь домашку Пипа по логарифмам.

   Нажми на каждую неверную строку, потом «Проверить».

   Правила логарифмов идут от правил степеней: умножение складывает показатели, деление вычитает, степень перемножает. Правила степеней для сложения нет, поэтому log(2 + 8) не разбивается.

9. Получи 32 из отрезков log 2.

   Клади отрезки длиной log 2 друг за другом на линейку удвоений, пока не попадёшь в 32.

Предыдущий урок: Логарифм считает удвоения · Следующий урок: Логарифмические шкалы · Часть курса: Рост: степени и логарифмы

Уроки интерактивные и работают на JavaScript. Включи его, чтобы играть.