TwiddleLab / Математика / Счёт и закономерности
Бесконечные суммы, которые останавливаются
Что ты узнаешь
- 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... никогда не кончается, но сумма подходит к 1 как угодно близко и никогда её не проходит.
- Геометрический ряд a + ar + ar² + ... в сумме даёт a ÷ (1 - r), когда r между -1 и 1.
- Если члены не уменьшаются (r равно 1 или больше), сумма растёт бесконечно.
- ИИ-агенты используют это: награды с весами γ, γ², γ³... складываются в конечное значение.
Как идёт урок
Пройди полпути до двери, потом половину остатка, потом ещё половину...
Получится ли когда-нибудь дойти? Перетащи туда, где, по-твоему, всё закончится.
Заполняй квадрат, по половине щели за раз.
Нажимай на пустую часть. Следи за суммой.
Теперь каждый член в r раз больше прошлого: 1 + r + r² + ...
Крути r, пока вся бесконечная сумма не попадёт в 4.
Сумма 1 + r + r² + ... равна 1 ÷ (1 - r) при r меньше 1, а 1 ÷ 0.25 = 4.
Это геометрический ряд.
Если складывать геометрическую последовательность бесконечно, получится геометрический ряд: a + ar + ar² + ...
Если r между -1 и 1, он сходится: сумма равна a ÷ (1 - r). Половинки: 1/2 ÷ (1 - 1/2) = 1.
Если члены не уменьшаются, он расходится: растёт без конца.
1/3 + 1/9 + 1/27 + ... = ?
Подойдёт дробь вроде 1/2.
a = 1/3 и r = 1/3, значит, сумма (1/3) ÷ (1 - 1/3) = (1/3) ÷ (2/3) = 1/2.
Какие бесконечные суммы останавливаются на числе?
Перетащи каждую в её коробку.
Игра: отскок. Сделай так, чтобы весь путь мяча попал в цель.
Мяч падает с 10 м и при каждом отскоке сохраняет долю r высоты. Задай r, потом «Бросить».
ИИ-агент ценит будущие награды всё меньше и меньше.
По очку каждый шаг, сегодня они стоят γ, γ², γ³... Крути γ, пока все они в сумме не дадут 10.
С весами 1, γ, γ², ... сумма равна 1 ÷ (1 - γ). Для суммы 10 1 - γ = 0,1, значит, γ = 0,9.
Уменьшающиеся члены могут дать конечную сумму.
Вернёмся в коридор. Сделай шаги и сравни со своей ставкой.
Предыдущий урок: Складываем последовательность · Следующий урок: Доказательство домино · Часть курса: Счёт и закономерности
Уроки интерактивные и работают на JavaScript. Включи его, чтобы играть.
