TwiddleLab / Математика / Тригонометрия и волны

Теорема синусов

Урок 8 из 11 · 7 мин · Бесплатно, без аккаунта

Что ты узнаешь

• В любом треугольнике a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C: каждая сторона на синус противолежащего угла.
• Это общее число равно диаметру окружности, проходящей через три вершины.
• Зная два угла и одну сторону, можно найти все остальные стороны: это триангуляция.

Начать урок

Как идёт урок

1. Маяк и две лодки.

   Известно одно расстояние и два угла. Можно ли найти остальное? Сначала ставка.

2. Тяни любую вершину треугольника.

   Каждая сторона делится на синус противолежащего угла. Три цели.

3. Что это за общее число?

   Нарисуй окружность через три вершины и измерь её.

4. Это теорема синусов.

   Называй каждую сторону по противолежащему углу: сторона a напротив угла A.

   Теорема синусов: a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C.

   Все три равны диаметру окружности через вершины. Это работает для каждого треугольника, не только прямоугольного.

5. Запиши уравнение маяка.

   Заполни каждую ячейку углом, противолежащим этой стороне.

   Углы в сумме дают 180°, поэтому угол маяка 50°. AL напротив угла 70°, сторона 5 км напротив 50°: AL = 5 × sin 70° ÷ sin 50° ≈ 6,13 км.

6. A = 30°, a = 4 и B = 90°. Какой длины сторона b?

   b ÷ sin 90° = 4 ÷ sin 30°, значит, b = 4 × 1 ÷ 0,5 = 8.

7. Игра: спаси три лодки.

   Две береговые станции в 10 км друг от друга видят лодку. Вычисли её расстояние от S1, задай трос и нажми «Отправить».

8. Какая сторона самая длинная?

   Углы 40°, 65° и 75°. Нажми на сторону.

   Каждая сторона это одно и то же число, умноженное на синус противолежащего угла. sin 75° ≈ 0,97 больше sin 65° ≈ 0,91 и sin 40° ≈ 0,64.

9. a ÷ sin A = b ÷ sin B = c ÷ sin C.

   Вернёмся к маяку, до и после. Тяни его, и теорема измерит расстояние до лодки A.

Предыдущий урок: Пифагор на окружности · Следующий урок: Теорема косинусов · Часть курса: Тригонометрия и волны

Уроки интерактивные и работают на JavaScript. Включи его, чтобы играть.