КурсыИИМатематикаКодФизикаО проекте и вопросы

TwiddleLab / Математика / Рост: степени и логарифмы

Всё быстрее и быстрее: число e

Урок 10 из 11 · 7 мин · Бесплатно, без аккаунта

Что ты узнаешь

  • Сложные проценты платят проценты на проценты: 50% дважды превращают $1 в $2,25, а не в $2.
  • Если разделить 100% на n выплат, получится (1 + 1/n)ⁿ, а это приближается к e ≈ 2,71828.
  • Рост, начисляемый непрерывно, это e^(rt). Обратная функция это натуральный логарифм ln: ln 2 ≈ 0,69, поэтому 6,9% удваивают за 10 лет.

Начать урок

Как идёт урок

  1. Банк платит 100% в год. Что лучше: получить один раз или по 1% сто раз?

    Один раз превращает $1 в $2. Поставь, что дадут 1% сто раз.

  2. Начни с малого: две выплаты по 50%.

    Начисли проценты дважды и смотри на стопку.

  3. Дели 100% на всё большее число выплат.

    Крути ручку от раза в год до каждой секунды.

  4. Потолок это число: e.

    (1 + 1/n)ⁿ растёт с n, но никогда не превышает e ≈ 2,71828.

    Рост, начисляемый непрерывно со ставкой r за время t, умножает на e^(rt).

    Обратная к eˣ функция это натуральный логарифм ln x: ln e = 1, ln 2 ≈ 0,693.

  5. Сделай так, чтобы $1 удвоился ровно за 10 лет.

    Банк начисляет непрерывно, поэтому $1 становится e^(rt). Крути ставку, пока не попадёшь в $2.

    Удвоение значит e^(10r) = 2. Натуральный логарифм отменяет e: 10r = ln 2 ≈ 0,693, значит, r ≈ 6,9%. Отсюда правило 70: 70 / ставка ≈ лет до удвоения.

  6. Игра: обыграй банк.

    Четыре раунда. Нажми на банк, который за год превратит $1000 в большую сумму.

  7. ИИ использует e в сигмоиде.

    Сигмоида 1 / (1 + e^(−x)) сжимает любое число в промежуток от 0 до 1. Тяни точку, пока выход не станет 0,9.

    1/(1 + e^(−x)) = 0,9, когда e^(−x) = 1/9, значит, x = ln 9 ≈ 2,2.

  8. $1000 под 100% в год, начисляемые непрерывно. Сколько будет через год?

    Непрерывное начисление 100% умножает на e^(1 × 1) = e ≈ 2,71828, поэтому $1000 становятся примерно $2718,28.

  9. Ещё одно, что делает e особенным.

    Нажми на кривую, чтобы увидеть её касательную при x = 0. У какой наклон ровно 1? Потом «Проверить».

    Наклон bˣ в 0 равен ln b: ln 2 ≈ 0,69, ln 3 ≈ 1,10, а ln e = 1. Поэтому e это натуральное основание.

Предыдущий урок: Логарифмические шкалы · Следующий урок: Проект: станет ли это вирусным? · Часть курса: Рост: степени и логарифмы

Уроки интерактивные и работают на JavaScript. Включи его, чтобы играть.

Loading TwiddleLab